Smoothing과 Denoising(잡음 제거)¶

요약

Smoothing(평활화)은 이웃 픽셀을 결합해 영상의 변동을 줄이는 공간 연산(spatial operation)이다. 주 목적은 잡음 제거(denoising)지만, 동시에 엣지도 흐려져 MTF가 떨어지는 트레이드오프가 있다. 이 페이지는 가장 단순한 선형 필터(mean/Gaussian)에서 시작해, 엣지를 보존하는 비선형 필터(median, bilateral, anisotropic diffusion, NLM, guided filter, BM3D)로 단순→정교 순서로 나아가고, 마지막에 유방 마스크 생성에 쓰이는 형태학적 연산(morphology)을 다룬다.

1. 동기 — 왜 잡음을 제거하는가¶

X-ray 영상의 지배적 잡음은 광자 계수의 통계적 요동인 양자 잡음(quantum noise, Poisson noise)이다. 디텍터에 도달하는 광자 수가 평균 \(\lambda\)인 Poisson 과정을 따르므로 분산도 \(\lambda\)이고, 표준편차는 \(\sqrt{\lambda}\)다(디텍터 참고). 선량이 낮은 영역(두꺼운 조직 뒤)일수록 SNR이 낮다.

\[ \mathrm{SNR} = \frac{\lambda}{\sqrt{\lambda}} = \sqrt{\lambda} \]

잡음 특성은 SNR/NPS(Noise Power Spectrum)로 정량화한다.

근본 트레이드오프: 잡음↓ vs MTF↓

선형 smoothing은 고주파 성분을 줄여 잡음을 낮추지만, 엣지와 미세구조도 고주파이므로 함께 흐려진다. 즉 MTF가 떨어진다. 미세석회처럼 작고 날카로운 구조가 진단의 핵심인 맘모그래피에서는 이 트레이드오프가 치명적이다. 이것이 뒤의 에지보존(edge-preserving) 필터들이 등장한 이유다.

2. 선형 필터 (가장 단순)¶

선형 필터는 커널(kernel) \(h\)와의 컨볼루션(convolution)으로 정의된다.

\[ g(x,y) = (f * h)(x,y) = \sum_{i}\sum_{j} f(x-i,\,y-j)\,h(i,j) \]

2.1 Mean / Box filter¶

모든 가중치가 동일한 \(n\times n\) 커널. 구현이 가장 단순하고 빠르지만(적분영상으로 O(1) 박스), 엣지를 가장 심하게 뭉개고 박스 모양 아티팩트가 생긴다.

2.2 Gaussian filter¶

가중치가 가우시안을 따르는 커널. 등방성(isotropic)이고 부드러워 인공물이 적다.

\[ h(i,j) = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\!\left(-\frac{i^2+j^2}{2\sigma^2}\right) \]

\(\sigma\)가 클수록 더 강하게 흐려진다(저역통과 차단주파수↓). 2D 가우시안은 분리 가능 (separable)하여 \(h(i,j)=h_x(i)\,h_y(j)\)로 1D 두 번에 나눠 적용할 수 있어, 연산량이 \(O(n^2)\to O(n)\)으로 준다.

import cv2
blur = cv2.GaussianBlur(img, ksize=(0, 0), sigmaX=2.0)  # ksize=0이면 sigma로 자동 결정

2.3 주파수영역 저역통과 (low-pass)¶

컨볼루션은 주파수영역에서 곱셈이다(\(\mathcal{F}\{f*h\}=F\cdot H\)). 가우시안 등으로 고주파를 감쇠시키는 것이 저역통과 필터링이다. 이상적(ideal) 저역통과는 ringing을 만들어 실무에서는 부드러운 차단(Gaussian, Butterworth)을 쓴다.

3. 비선형 / 에지보존 필터 (정교)¶

선형 필터의 "엣지도 흐린다" 한계를 푸는 흐름이다. 핵심은 평활화하되 엣지는 넘어가지 않게 하는 것.

3.1 Median filter¶

이웃의 중앙값으로 대체. 임펄스(salt-and-pepper) 잡음과 핫픽셀 제거에 탁월하고, 평균과 달리 엣지를 비교적 보존한다. 가우시안 잡음에는 mean보다 효율이 낮다.

3.2 Bilateral filter¶

공간 거리뿐 아니라 휘도 차이까지 가중에 넣어, 엣지를 가로지르는 픽셀의 기여를 줄인다.

\[ g(p) = \frac{1}{W_p}\sum_{q\in\Omega} f(q)\, \underbrace{G_{\sigma_s}(\lVert p-q\rVert)}_{\text{공간}}\, \underbrace{G_{\sigma_r}(\lvert f(p)-f(q)\rvert)}_{\text{휘도}} \]

\(\sigma_r\)가 작으면 엣지 보존이 강해진다. 단점은 강한 엣지 근처에서 계단/만화 같은 (staircase) 효과와 비교적 높은 비용.

3.3 Anisotropic diffusion (Perona–Malik, 1990)¶

확산(diffusion)을 엣지에서 멈추도록 만든 PDE 기반 방법. 확산 계수 \(c(\cdot)\)가 gradient 크기에 반비례한다.

\[ \frac{\partial I}{\partial t} = \nabla\cdot\big(c(\lVert\nabla I\rVert)\,\nabla I\big), \qquad c(s)=\exp\!\big(-(s/K)^2\big) \]

평탄 영역은 강하게 확산(=평활), 엣지에서는 확산 억제(=보존)된다.

3.4 Non-Local Means (NLM, Buades 2005)¶

"비슷한 패치는 영상 어디에 있든 같은 신호"라는 가정으로, 패치 유사도를 가중치로 삼아 평균한다. 반복 텍스처가 많은 영상에서 강력하지만 비용이 크다.

3.5 Guided filter (He, 2010)¶

가이드 영상 \(I\)(자기 자신 또는 다른 영상)에 대해 출력이 지역적으로 선형 모델 \(q_i = a_k I_i + b_k\) (\(i\in\omega_k\))를 따른다고 가정해, 각 윈도우에서 \(a_k,b_k\)를 최소제곱으로 구한다. bilateral과 비슷한 에지보존 효과를 내면서 영상 크기에 대해 선형 시간(O(N), 윈도우 크기 무관)으로 매우 빠르고, gradient 반전(halo) 아티팩트가 적다.

프로젝트에서의 guided filter

본 프로젝트는 guided filter로 영상을 평활 배경(base)과 디테일(detail)로 분해하는 데 사용한다. 이 base/detail 분해는 Laplacian pyramid 분해와 함께 톤 매핑(배경 압축 + 디테일 재증폭)의 토대가 된다. 에지보존 평활이므로 큰 구조의 경계를 유지한 채 배경만 부드럽게 추정할 수 있다(pipeline).

3.6 BM3D (간단 언급)¶

Block-Matching and 3D filtering(Dabov 2007). 유사 블록을 모아 3D 변환영역에서 협업 필터링(collaborative filtering)하는 최신 고성능 denoiser. 가우시안 잡음에서 오랫동안 사실상 표준 성능을 보였으나 비용이 크다. 이후 딥러닝 denoiser가 이를 대체·보강한다.

4. 형태학적 연산 (Morphology)¶

이진/그레이 마스크의 형태를 다루는 비선형 연산으로, 잡음 제거보다 마스크 정제에 쓰인다. 구조요소(structuring element) \(B\)에 대해:

Erosion(침식) \(f\ominus B\) : 밝은 영역을 깎음 → 작은 잡음점 제거.
Dilation(팽창) \(f\oplus B\) : 밝은 영역을 키움 → 구멍 메움.
Opening(열기) \(f\circ B = (f\ominus B)\oplus B\) : 작은 돌기·잡음 제거(크기 유지).
Closing(닫기) \(f\bullet B = (f\oplus B)\ominus B\) : 작은 구멍·틈 메움.

import cv2
import numpy as np

k = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_ELLIPSE, (15, 15))
mask = cv2.morphologyEx(mask, cv2.MORPH_OPEN, k)   # 잡음 제거
mask = cv2.morphologyEx(mask, cv2.MORPH_CLOSE, k)  # 구멍 메움

# 가장 큰 연결요소(largest connected component)만 유지
n, labels, stats, _ = cv2.connectedComponentsWithStats(mask)
largest = 1 + np.argmax(stats[1:, cv2.CC_STAT_AREA])
mask = (labels == largest).astype(np.uint8)

프로젝트의 유방 마스크 생성

본 프로젝트는 threshold로 1차 마스크를 만든 뒤, morphology(opening/closing)로 잡음과 구멍을 정리하고, 가장 큰 connected component만 남겨 유방 영역을 분리한다. 이 마스크는 이후 peripheral equalization, CLAHE blend 등에서 처리 범위를 한정하는 데 쓰인다(pipeline).

5. 비교표¶

필터	분류	잡음 제거	엣지 보존	계산 비용	비고
Mean/Box	선형	보통	나쁨	매우 낮음	가장 단순, 박스 아티팩트
Gaussian	선형	좋음	나쁨	낮음(separable)	표준 저역통과
Median	비선형	임펄스에 탁월	보통	낮음	salt-and-pepper
Bilateral	비선형	좋음	좋음	높음	staircase 가능
Anisotropic diffusion	PDE	좋음	매우 좋음	높음(반복)	파라미터 \(K\) 민감
NLM	비선형	매우 좋음	좋음	매우 높음	패치 유사도
Guided filter	선형모델	좋음	좋음	낮음(O(N))	빠름, halo 적음
BM3D	변환영역	매우 좋음	좋음	매우 높음	고전 SOTA

참고문헌¶

R. C. Gonzalez, R. E. Woods, Digital Image Processing, 4th ed., Pearson, 2018. (Spatial Filtering, Morphology)
P. Perona, J. Malik, "Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion," IEEE TPAMI, vol. 12, no. 7, pp. 629–639, 1990.
C. Tomasi, R. Manduchi, "Bilateral Filtering for Gray and Color Images," ICCV 1998, pp. 839–846.
A. Buades, B. Coll, J.-M. Morel, "A Non-Local Algorithm for Image Denoising," CVPR 2005, vol. 2, pp. 60–65.
K. Dabov et al., "Image Denoising by Sparse 3-D Transform-Domain Collaborative Filtering (BM3D)," IEEE TIP, vol. 16, no. 8, pp. 2080–2095, 2007.
K. He, J. Sun, X. Tang, "Guided Image Filtering," ECCV 2010; IEEE TPAMI, vol. 35, no. 6, pp. 1397–1409, 2013.