Module B — 3-Tier 주파수 분해: 4단계 원리 분석¶

`stage_decomposition()` 실행 흐름¶

compensated_raw (uint16)  +  mask (uint8)
   │
   ①  _guided_filter_masked(radius=50)    →  mid_layer (float32)
   │
   ②  _guided_filter_masked(radius=150)   →  global_layer (float32)
   │         (mid_layer를 입력으로 cascaded 적용)
   │
   ③  차분 연산
   │     regional_layer = mid_layer − global_layer
   │     detail_layer   = img_float − mid_layer
   │
   ④  Edge Fade + Laplacian Pyramid 증폭
   │     → enhanced_detail (float32)
   │
   ▼
global_layer, regional_layer, enhanced_detail  (Module C 입력)

① Masked Guided Filter — `_guided_filter_masked()`¶

왜 Guided Filter인가?¶

주파수 분해에서 핵심 요구사항은 Edge-Preserving Smoothing이다. 유방 내부의 조직 경계(섬유선 구조, 혈관벽)는 보존하면서 저주파 구배만 추출해야 한다.

대안	문제점
가우시안 블러	모든 주파수를 균일하게 평활화 → 조직 경계가 흐려져 차분 레이어에 Halo 발생
Bilateral Filter	Edge-preserving이나, 비선형이라 cascaded 적용 시 gradient reversal 아티팩트 발생
Guided Filter	선형(Linear) edge-preserving → cascaded 적용에 안전, O(N) 복잡도

표준 Guided Filter의 수학적 모델¶

Guided Filter는 각 윈도우 \(\omega_k\) 에서 출력을 입력의 국소 선형 변환으로 모델링한다:

\[q_i = a_k \cdot I_i + b_k, \quad \forall i \in \omega_k\]

Self-guided (guide = source) 모드에서 최적 계수는:

\[a_k = \frac{\sigma_k^2}{\sigma_k^2 + \varepsilon}, \qquad b_k = \bar{I}_k (1 - a_k)\]

\(\bar{I}_k\): 윈도우 내 평균
\(\sigma_k^2\): 윈도우 내 분산
\(\varepsilon\): 정규화 파라미터

\(\varepsilon\)의 물리적 의미:

영역	분산 vs ε	\(a_k\)	출력
평탄 영역	\(\sigma^2 \ll \varepsilon\)	\(\approx 0\)	\(q \approx \bar{I}\) (평균으로 평활화)
에지 영역	\(\sigma^2 \gg \varepsilon\)	\(\approx 1\)	\(q \approx I\) (원본 보존)

→ \(\varepsilon\)이 작을수록 더 많은 구조를 에지로 인식하여 보존, 클수록 강하게 평활화.

Masked 버전의 핵심: 정규화 컨볼루션¶

표준 guided filter는 boxFilter(normalize=True)로 윈도우 통계를 계산한다. 그런데 유방-배경 경계 윈도우에서는 배경 픽셀(값=0)이 통계에 포함되어 평균과 분산이 심하게 왜곡된다.

표준 Box Filter 경계 문제:

  윈도우 내 픽셀:  [유방 0.7] [유방 0.8] [배경 0.0] [배경 0.0]
  boxFilter 평균:  (0.7 + 0.8 + 0.0 + 0.0) / 4 = 0.375   ← 실제 유방 평균(0.75)과 괴리
  → 유방-배경 경계에서 비정상적으로 낮은 base layer 형성
  → 차분 레이어(detail)가 경계에서 비정상 양수 → 밝은 Halo

해결: Masked Box Filter (Normalized Convolution)

\[\text{mean}(X) = \frac{\text{boxFilter}(X \cdot M)}{\text{boxFilter}(M)}\]

N = cv2.boxFilter(mask_f, cv2.CV_32F, ksize, normalize=False)  # 윈도우 내 전경 픽셀 수
N = np.maximum(N, 1.0)                                         # 0 나눗셈 방지

mean_I  = cv2.boxFilter(I_masked, ..., normalize=False) / N    # 전경 전용 평균
mean_II = cv2.boxFilter(I_masked * img_float, ..., normalize=False) / N

분모 N이 윈도우 내 마스크 픽셀 수를 나타내므로, 배경 픽셀은 분자·분모 모두에서 배제된다.
경계 윈도우에서 유효 전경 샘플이 줄어 분산의 추정 정밀도는 약간 저하되지만, 계통 편향(bias)은 원천 제거된다.

코드 구현 요약¶

# Pass 1: 각 윈도우의 masked 통계
mean_I  = boxFilter(I·M) / N
mean_II = boxFilter(I²·M) / N            # I_masked * img_float ≡ I²·M (self-guided)
var_I   = max(mean_II − mean_I², 0)      # 수치 안정성: 음수 분산 방지

a = var_I / (var_I + eps)
b = mean_I · (1 − a)

# Pass 2: a, b의 윈도우 평균 (역시 masked)
mean_a = boxFilter(a·M) / N
mean_b = boxFilter(b·M) / N

# 최종 출력
result = mean_a · I + mean_b
result[mask == 0] = 0.0

2-Pass 구조의 이유: Pass 1에서 계산된 \((a_k, b_k)\)는 각 윈도우에 종속적이다. 하나의 픽셀은 여러 겹치는 윈도우에 속하므로, Pass 2에서 모든 윈도우의 \((a_k, b_k)\)를 평균하여 부드러운 출력을 얻는다. 이것이 guided filter의 핵심 트릭이다.

② Cascaded 분해 전략¶

직렬(Serial) 분해 구조¶

img_float ─────────────────────────────────────────┐
    │                                               │
    │  GF(r=50, ε=0.005)                            │
    ▼                                               │
 mid_layer ──────────────────────────┐              │
    │                                │              │
    │  GF(r=150, ε=0.01)            │              │
    ▼                                │              │
 global_layer                       │              │
    │                                │              │
    ▼                                ▼              ▼
 regional = mid − global    detail = img − mid
 (중간 주파수)                (고주파)

왜 img_float에서 직접 global을 구하지 않는가?

Guided Filter는 \(\varepsilon\)에 의해 보존할 에지의 진폭을 결정한다. 원본에서 r=150으로 직접 필터링하면, 큰 반경 때문에 중간 주파수 구조까지 global에 혼입된다.

대신 mid_layer(이미 고주파가 제거된 신호) 위에서 다시 필터링하면: - mid_layer의 잔존 분산이 원본보다 작으므로 동일한 \(\varepsilon\)에서도 더 강한 평활화 효과 - Global ↔ Regional의 주파수 분리 경계가 더 깔끔해짐

이 전략은 이중 Low-pass의 Cascaded Subtraction으로, 라플라시안 피라미드의 연속 다운스케일과 유사한 사고방식이다.

3-Tier 분해의 주파수 대역 분할¶

주파수 축 (저 ─────────────────────────────────── 고)

├── Global ──┤── Regional ──┤──── Detail ────┤
│  (r=150)   │  (r=50~150)  │   (< r=50)     │
│ 두께 구배   │ 국소 조직 밀도 │ 미세석회화·혈관벽│
│ 억제 대상   │ 증폭 대상     │ 증폭 대상       │

레이어	계산식	물리적 대응	이후 처리
`global_layer`	GF(GF(img, r=50), r=150)	유방 전체 두께 구배	Module C에서 `(1−α)` 곱으로 억제
`regional_layer`	mid − global	국소 유선 밀도·조직 구조	Module C에서 gain으로 증폭
`detail_layer`	img − mid	미세석회화, 혈관벽, 섬유선 경계	라플라시안 피라미드로 선택적 증폭

③ 라플라시안 피라미드 증폭 — `_build_laplacian_pyramid()` / `_reconstruct_from_laplacian()`¶

왜 Detail Layer를 그대로 쓰지 않는가?¶

detail_layer = img − mid에는 미세석회화(~0.1mm)부터 혈관 구조(~5mm)까지 다양한 크기의 고주파 성분이 혼재한다. 이 중 진단적으로 가장 중요한 초고주파(미세석회화)를 선택적으로 증폭하려면, 고주파 내에서도 다시 크기별로 분리해야 한다.

라플라시안 피라미드 수학¶

가우시안 피라미드: \(G_0 = \text{img}, \quad G_{l+1} = \text{pyrDown}(G_l)\)

라플라시안 피라미드: \(L_l = G_l - \text{pyrUp}(G_{l+1})\)

\(L_0\): 최고주파 — 원본 해상도의 미세 구조 (미세석회화, 섬유선 경계)
\(L_1\): 차고주파 — 2배 다운스케일의 구조 (작은 혈관)
\(L_{l}\): 해상도가 절반씩 줄며 점점 저주파 구조
\(G_{\text{last}}\): 잔여 DC 성분

주파수 선택적 가중치¶

weights = [2.0, 2.0, 1.5, 1.0, 0.5]
#          L0    L1    L2    L3    L4
#         최고주파 ─────────────── 저주파

Level	해상도	대응 구조	가중치	의도
L0	원본	미세석회화, 섬유선 경계	2.0	최대 증폭 — 진단 핵심
L1	1/2	소혈관, 미세 구조	2.0	강한 증폭
L2	1/4	중소 구조	1.5	중간 증폭
L3	1/8	중간 구조	1.0	원본 유지
L4	1/16	Regional에 근접한 저주파	0.5	억제 — Regional과 중복 방지

L4의 가중치가 0.5인 이유: 이 레벨의 구조는 이미 regional_layer와 주파수 대역이 겹친다. 증폭하면 Module C의 regional_gain과 이중 증폭되므로, 오히려 줄여서 대역 간 독립성을 유지한다.

재합성¶

def _reconstruct_from_laplacian(lp, residual, weights):
    R = residual                         # 최저주파 잔차에서 시작
    for i in reversed(range(len(lp))):
        R = pyrUp(R) + lp[i] * weights[i]  # 업스케일 + 가중된 디테일 추가
    return R

저주파에서 시작하여 한 레벨씩 올라가며 가중된 고주파 디테일을 누적 합산한다. weights[i] > 1.0이면 해당 레벨의 구조가 원본보다 강조되고, < 1.0이면 억제된다.

④ Edge Fade — 경계 아티팩트 억제¶

잔존 문제: One-Sided Window¶

Masked Guided Filter가 배경 bias를 원천 제거하더라도, 마스크 극단 경계(~10px)에서는 윈도우 내 전경 픽셀이 한쪽 방향으로만 존재한다. 이 one-sided 윈도우에서 계산된 통계(평균, 분산)는 실제보다 편향될 수 있다.

마스크 경계 근방 윈도우:

  [배경][배경][배경][유방][유방][유방]
  ← 배경(mask=0, 무시됨)    전경 →

  N이 작아 통계가 불안정. 분산의 추정치가 과소 → a가 과소 → 과도한 평활화
  → regional/detail 차분이 미소하게 왜곡

해결: Distance Transform 기반 Soft Fade¶

EDGE_FADE_PX = 10.0
dist = cv2.distanceTransform(mask, cv2.DIST_L2, 5)
edge_weight = np.clip(dist / EDGE_FADE_PX, 0.0, 1.0)
regional_layer = regional_layer * edge_weight

\[w(x, y) = \min\!\left(\frac{d(x,y)}{10}, \;1.0\right)\]

\(d(x,y)\): 마스크 경계로부터의 유클리드 거리 (L2 Distance Transform)
경계에서 0 → 10px 내부에서 1로 선형 증가
Regional layer만 fade (global은 이미 저주파라 영향 미미, detail은 피라미드가 자체 평활)

Regional만 적용하는 이유: - global_layer는 반경 150px의 극저주파 성분이므로 경계 10px의 불안정성이 실질적으로 무시 가능 - enhanced_detail은 라플라시안 피라미드 구조에서 다운스케일-업스케일 과정이 자체적으로 경계를 평활화 - regional_layer는 반경 50~150px의 중간 주파수로, 경계 one-sided 윈도우의 영향이 가장 직접적으로 나타남

부록: `test_laplacian_pyramid_only()` — 디버그 유틸리티¶

이 함수는 파이프라인의 일부가 아니라, 라플라시안 피라미드 증폭의 효과를 단독으로 검증하기 위한 테스트 도구이다.

compensated_raw
    │
    ├─ GF(r=50, ε=0.001) → base_layer
    │
    └─ detail = img − base
           │
           └─ Laplacian Pyramid (weights = [2.0, 1.0, 1.5, 1.0, 2.0])
                  │
                  └─ percentile(1%, 99%) 정규화 → uint16 출력

본 파이프라인과의 차이점: - ε=0.001 (본 파이프라인: 0.005) → 더 많은 구조를 edge로 보존, base가 더 평탄 - 가중치 배열이 다름: [2.0, 1.0, 1.5, 1.0, 2.0] vs [2.0, 2.0, 1.5, 1.0, 0.5] - L4에 2.0을 주어 저주파 디테일까지 증폭 → 시각적 과장 효과로 디버깅 시 구조 파악 용이